Teoría de los cuatro colores

El Sábado por la noche (después de salir a tomar unas cervezas) viendo un programa atrasado de Redes (no llegué borracho ¿qué pasa?) oí hablar de una teoría de la que ya había leído algo, pero esta vez me dio mucho más que pensar. Me refiero a la Teoría de los Cuatro Colores. El teorema establece que:

Cualquier mapa geográfico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color.

Pero lo que más "rabia" me da es que aún haciendo tú el mapa más enrevesado que se te ocurra, este se podrá pintar con cuatro colores. Yo lo probé dibujando un mapa con unas fronteras un tanto irreales ¿cómo coño van a ser suficientes cuatro colores? pensaba yo. Pues lo son, tanto para planos como para esferas, que son casi equivalentes.

Pensándolo un poco y dibujando unos cuantos mapas para probar, tiene sentido que 4 colores basten para dibujar un mapa sin que dos regiones que compartan frontera tengan el mismo color. Una cosa es intuirlo y otra demostrarlo. Esto último es mucho más difícil, y es que desde que se planteó este problema (allá por 1850) se han tardado más de cien años en poder demostrarlo, y aún así no todo el mundo ha quedado contento.

El teorema de los cuatro colores fue el primero en demostrarse usando un ordenador, una computadora Cray de segunda generación. En 1969 se hizo la prueba, se introdujeron 1900 tipos de planos diferentes y el ordenador, después de "tan solo" 50 días, pudo dar una solución para colorearlos correctamente con 4 colores. Algunos matemáticos no dieron por válida esta demostración ya que por una parte habría que confiar en los datos del ordenador y también pensaban que quizás podría existir un mapa que no estuviera entre esos 1900 mapas probados y que necesitara más de 4 colores para ser dibujado. De todas maneras el ordenador no se equivocaba ya que el software fue probado un diversas máquinas siempre con el mismo resultado.

La Wikipedia apunta que en el año 2000 un matemático indio ha dado una solución "al estilo tradicional", pero yo no he encontrado referencias a esto en ningún otro lado, así que no me fío mucho de que sea correcta la solución. De todas maneras si sabéis inglés y tenéis huevos pinchad aquí para ver la demostración del teorema.

Excepciones a la teoría de los cuatro colores:

La tira de Möbius

Existe un objeto con una particular forma, tan particular que, aunque no lo parezca, tiene una sola cara. Es la tira de Möbius, se puede hacer cogiendo una tira de papel y uniendo sus extremos después de darle media vuelta. En la imagen se entiende perfectamente eso de que sólo tiene una cara. Pues bien, para que no haya zonas contiguas con el mismo color en las tiras de Möbius son necesarios seis colores, ahora bien, si cortamos la tira volveríamos al ejemplo común y cuatro serían suficientes.

El toro (en matemáticas)

Otro ejemplo en el que harían falta más de cuatro colores es el del toro. En matemáticas un toro es una superficie de revolución generada por una circunferencia que gira alrededor de una recta fija de su plano, que no la corta. Es decir, un toro en geometría es como un donuts.Pues bien, para esta superficie toroidal serán necesarios como mínimo siete colores ya que cada región, como muestra el dibujo, tiene frontera con las otras seis.

Fuentes: Wikipedia, escritorium, Tio Petros, pdf sobre teoría cuatro colores

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